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微专题:与圆锥曲线离心率相关的问题
发布时间:2015/11/8 10:27:41 编辑:张莉芬 点击:1617

微专题:与圆锥曲线离心率相关的问题 

离心率是什么?怎么计算?

离心率是描述圆锥曲线性质的一个关键量,它是一个比值(在椭圆和双曲线中),它与圆锥曲线的大小无关,只与其形状有关。在椭圆中,离心率越大,椭圆越扁平,离心率越小,椭圆越圆,椭圆离心率的取值范围;在双曲线中,离心率越大,双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔,即双曲线的“张口”逐渐增大,双曲线离心率的取值范围;在抛物线中,离心率

题组一:离心率的计算、求解

1.过椭圆的左焦点轴的垂线交椭圆于点为右焦点,若,则椭圆的离心率为           .

2.是椭圆的两个焦点,是以为直径的圆与椭圆的一个交点,若,则椭圆的离心率等于           .

3.椭圆的四个顶点为,若四边形的内切圆恰好过椭圆的焦点,则椭圆的离心率是           .

4.已知椭圆是椭圆长轴的一个端点,是椭圆短轴的一个端点,为椭圆的一个焦点,若,则椭圆的离心率是           .

5.椭圆(为定值,且的的左焦点为,直线与椭圆相交于点的周长的最大值是,则该椭圆的离心率是           .

6.如图,点为椭圆 的左顶点,在椭圆E上,若四边形为平行四边形,且,则椭圆的离心率等于         .

 

7.如图,是双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的两支分别交于点,若为等边三角形,则双曲线的离心率为           

 

题组二:研究离心率的最值、取值范围

范围问题是数学中的一大类问题,在高考试题中占有很大的比重,圆锥曲线中离心率取值范围问题也是高考中解析几何试题的一个倍受青睐的考查点,其求解策略的关键是建立目标的不等式,建立不等式的方法一般有:利用曲线定义,曲线的几何性质,题设指定条件等.

1.已知是椭圆的两个焦点,满足的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是           .

【解析】由题,的轨迹为以焦距为直径的圆,由总在椭圆内部,知:,又,所以

【点评】利用圆的几何性质判定轨迹为圆,再利用椭圆和圆的几何性质解题.

一般地,点总在椭圆内部;点有4个在椭圆上;2个在椭圆上,就是椭圆短轴的两个端点.

【变题】已知椭圆的焦点分别为,若该椭圆上存在一点P,使得,则椭圆离心率的取值范围是      

分析:如果大家考虑几何的大小,大家发现当当P为椭圆的短轴的顶点B1(或B2)时F1PF2最大(需要证明),从而有0<∠F1PF2≤∠F1 B1F2(或),此时离心率,当椭圆比此时更圆,则就不存在点P,使得了,根据条件可得F1 B1F260°,易得,故e1。;如果大家考虑,通过设椭圆点,利用椭圆本身的范围,也可以求出该椭圆离心率的取值范围。

解法1:首先证明,在三角形中,由余弦定理,

当且仅当时,等号成立,即当M与椭圆的短轴的顶点(或)重合时最大。余同分析。

解法2:设点。由椭圆第二定义,,所以,

,又,所以,在三角形中,由余弦定理,

代入并整理得,而,所以

,又,所以

2.若在椭圆上存在一点是椭圆的两个焦点,若,则椭圆的离心率的取值范围是           .

3.已知椭圆的左、右焦点分别为,若椭圆上存在点(除左右端点)使,则该椭圆的离心率的取值范围是                 .

【变题】已知双曲线的左、右焦点分别为.若双曲线上存在点使,则该双曲线的离心率的取值范围是                

【解析】(由正弦定理得),

由双曲线性质知,即,得

,得

【点评】此处的题设条件较前两例复杂,但注意到正弦之比可以转化为边之比,故可进而转化为和离心率相关的不等式.

解法1:在中,由正弦定理得,,所以,又根据双曲线的定义,,所以易得到

由已知,,所以点P在双曲线的右支上,所以

所以,,因为,所以,所以

解法2:设点。由双曲线第二定义,,所以,,又,所以

中,由正弦定理得,,所以,则

所以,由已知,,所以点P在双曲线的右支上,

所以,,因为,所以,所以

4.椭圆学科网(www.zxxk.com)--国内最大的教育资源门户,提供试卷、教案、课件、论文、素材及各类教学资源下载,还有大量而丰富的教学相关资讯!的左焦点为,右顶点为是椭圆上一点,为左准线,,垂足为,若四边形为平行四边形,则椭圆的离心率的取值范围是           .

5.在平面直角坐标系中,椭圆的左焦点为,右顶点为是椭圆上一点,为左准线,垂足为,若四边形为平行四边形,则椭圆的离心率的取值范围是        .

6.双曲线的两个焦点为,若为其上一点,且,则双曲线离心率的取值范围是      

【解析】设

点在右顶点处

【点评】根据第一定义结合余弦定理将离心率转化为角的函数,再利用三角函数求最值

【解析二】也可用三角形的三边关系求解,但注意取等条件.

如图,在

(后者在重合时取等)

【点评】和焦点三角形相关的问题可以考虑用三角形三边关系来建立不等式.

7.设,则双曲线的离心率的取值范围是      

【解析】

,根据二次函数值域可得

【点评】当所求离心率转化为某参数的二次函数(或类二次函数)时,可以利用二次函数的性质确定离心率的范围

 

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