威尼斯城所登入网址-澳门在线威尼斯官方-首页

威尼斯城所登入网址 威尼斯城所登入网址-澳门在线威尼斯官方-首页>威尼斯城所登入网址-澳门在线威尼斯官方-首页 基地概述 校内资源 校外资源 教师专业发展 学生发展 课程开发
一道解析几何题的思维展示
发布时间:2015/11/6 10:26:20 编辑:张莉芬 点击:1571

一道解析几何题的思维展示

        

题目:AB为抛物线的焦点弦,AB的中垂线交轴于R,求证:|FR|=F为抛物线的焦点).

分析:题中没有画图,为了帮助思考,应该先作出图形。这是解决解析几何问题的基本策略。

        

如图, F为定点,ABR为动点,为了证明|FR|=,若用验证的方法,需要求出|FR||AB|的值,而AB过焦点F,斜率是变化的,当确定以后,ABR就都确定了,因此,整个解题过程应当是先求的值,然后进行计算。

解法1:设直线AB的方程为,代入抛物线,得,,整理得,

由韦达定理

于是

直线AB的中垂线方程为:

所以,|FR|=  |AB|=

=2|FR|.

得证.

思考1注意到中垂线过AB的中点,如果用中点弦的办法,可以大大地简化解题过程。

解法2如图,设AB的坐标分别为,则有:

        ,两式相减,得,

        ,于是: 

        ,所以,

(以下同解法1,略)

思考2因为AB 是抛物线的焦点弦,可以与抛物线的焦半径联系起来,利用图形的几何性质去解决问题。

解法3如图,设ABR的坐标分别为 由中垂线的性质,|AR|=|BR|,所以

              

平方整理得

因为

所以

于是得:|FR|=|AB|.

评析:解法1可以称为“设k法”,用待定系数法的思想,先设出直线的斜率,然后进行计算和验证。这种方法适用范围广泛,属于所谓的“通性通法”,是应该熟练掌握的。但是当方程较为复杂时,运算过程将变得很复杂。由于该题直线和抛物线的方程形式都比较简单,运算的复杂程度不很明显;若所给曲线比较复杂,为了避免陷入烦琐的运算,就要寻找可以简化计算的技巧。此外,设出斜率为k,前提是直线的斜率存在,所以解题时要分情况讨论,说明斜率不存在的情况,以免遗漏。上面的解答中,当斜率不存在时,ABx轴垂直,AB的中垂线为x轴,R点不存在,不合题意,所以可以不考虑这种情况。该题在解答过程中不叙述出来是容许的,但是在探求解题思路时应当有所考虑,解题后的思考中更是不可或缺。

解法2是典型的“中点弦问题”,其步骤是“设点——作差——分解因式”,结果构造出直线的斜率和中点的坐标。凡与二次曲线的弦的中点有关的问题,基本上都可以用这种方法来简化计算。作为一种解题模型,要善于识别和熟练运用。

解法3充分运用了“几何方法”,解答过程非常简捷。数形结合是一种最基本的数学思想,解析几何就是数形结合的产物。在数学解题中要养成随时将代数形式和几何形式联系起来的良好习惯。该题一方面把焦点弦转化为到准线的距离,使得代数形式非常简单;另一方面运用中垂线的性质,免去了求两条直线方程的过程,真可谓“化腐朽为神奇”!要努力追求这一境界。

 

Copyright? 2006-2008 SYGZ Inc. All rights reserved. 威尼斯城所登入网址 版权所有    

学籍咨询电话:88366257  电子邮箱:ygzcf@163.com  

威尼斯城所登入网址|澳门在线威尼斯官方

XML 地图 | Sitemap 地图