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抛物线(一轮复习)
发布时间:2019/1/10 15:59:11 编辑:丁建 点击:1263
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回归基础

1[过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1y1)Q(x2y2)两点,如果x1x26,则PQ________.

 

 

 

2.已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(2,-4),则该抛物线的标准方程为____________

 

 

 

3.设抛物线y28x上一点Py轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是________

 

 

 

4.已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是______

 

 

 

5.设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是__________

 

 

 

 

典例解析

题型一 抛物线的定义及应用

典例 P是抛物线y24x上的一个动点,若B(3,2),则PBPF的最小值为________

 

 

 

 

 

 

引申探究

1若将本例中的B点坐标改为(3,4),试求PBPF的最小值.

2若将本例中的条件改为:已知抛物线方程为y24x,直线l的方程为xy50,在抛物线上有一动点Py轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,求d1d2的最小值.

 

 

 

 

 

 

跟踪训练 P是抛物线y24x上的一个动点,则点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值为________

 

 

 

 

 

题型二 抛物线的标准方程和几何性质

命题点1 求抛物线的标准方程

典例 如图所示,过抛物线y22px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点AB,交其准线l于点C,若BC2BF,且AF3,则此抛物线的方程为________

 

 

 

 

 

命题点2 抛物线的几何性质

典例 已知抛物线y22px(p>0)的焦点为FA(x1y1)B(x2y2)是过F的直线与抛物线的两个交点,求证:

(1)y1y2=-p2x1x24(p2)

(2)AF(1)BF(1)为定值;

(3)AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

 

 

 

 

 

 

 

 

跟踪训练 (1)若抛物线y22px(p>0)上的点A(x0)到其焦点的距离是Ay轴距离的3倍,则p________.

 

 

 

 

(2)过点P(2,0)的直线与抛物线Cy24x相交于AB两点,且PA2(1)AB,则点A到抛物线C的焦点的距离为________

 

 

 

 

 

 

 

直线与圆锥曲线问题的求解策略

典例 (10)已知抛物线Cymx2(m>0),焦点为F,直线2xy20交抛物线CAB两点,P是线段AB的中点,过Px轴的垂线交抛物线C于点Q.

(1)求抛物线C的焦点坐标;

(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3,求此时m的值;

(3)是否存在实数m,使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


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抛物线

考情分析抛物线的方程、几何性质或与抛物线相关的综合问题是命题的热点.题型既有小巧灵活的填空题,又有综合性较强的解答题.

自主梳理

1抛物线的概念

平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.

2抛物线的标准方程与几何性质

标准方程

y22px(p>0)

y2=-2px(p>0)

x22py(p>0)

x2=-2py(p>0)

p的几何意义:焦点F到准线l的距离

图形

顶点坐标

O(0,0)

对称轴

x

y

焦点坐标

F,0(p)

F,0(p)

F2(p)

F2(p)

离心率

e1

准线方程

x=-2(p)

x2(p)

y=-2(p)

y2(p)

范围

x0yR

x0yR

y0xR

y0xR

开口方向

向右

向左

向上

向下

常识拓展

1.抛物线y22px(p>0)上一点P(x0y0)到焦点F,0(p)的距离PFx02(p),也称为抛物线的焦半径.

2y2ax(a0)的焦点坐标为,0(a),准线方程为x=-4(a).

3.设AB是过抛物线y22px(p>0)焦点F的弦,

A(x1y1)B(x2y2),则

(1)x1x24(p2)y1y2=-p2.

(2)弦长ABx1x2psin2α(2p)(α为弦AB的倾斜角)

(3)以弦AB为直径的圆与准线相切.

(4)通径:过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦.

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